問題：在90至100這11個正整數(shù)中，有多少個數(shù)可以表示成a+b+ab的形式，其中a和b都是正整數(shù)？

答案：設(shè)該數(shù)為n，則有n+1=ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，即n+1為合成數(shù)。由於91≤n+1≤101，除了97和101以外，都是合成數(shù)，故此有11－2=9個符合條件的數(shù)。

題解中設(shè)未知數(shù)後，把表達式加了1，然後發(fā)現(xiàn)可以因式分解，之後見到符合條件的數(shù)，就是加1後是合成數(shù)，逐一檢查各數(shù)就找到了答案。

題目水平對初中到高中或是初接觸競賽數(shù)學(xué)的學(xué)生都有好處，問題裏的表達式，對於平常的學(xué)生來說不常見，因式分解的方式並不是用上一些常見恒等式，即使知道要加1也未必想得到分解後的樣子，不知道分解了有什麼用。開始就要添項，特別地加上1也是一個難點。

課程內(nèi)學(xué)習(xí)因式分解，用處多是處理分式加減時求公因式，或者解方程時有用，較少在正整數(shù)的範圍內(nèi)討論。把代數(shù)式限制在正整數(shù)範圍內(nèi)討論，引入整除性質(zhì)，從而加入一些數(shù)論的視角，是競賽數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。

在代數(shù)式裏引入正整數(shù)的整除性，可以有效地把中學(xué)的代數(shù)，與小學(xué)裏學(xué)到的正整數(shù)性質(zhì)聯(lián)繫在一起。這不只是在重溫低年級所學(xué)，而是令學(xué)生學(xué)習(xí)時發(fā)現(xiàn)，低年級的內(nèi)容可以用另一種方式，跟高年級的內(nèi)容連上關(guān)係，從而發(fā)現(xiàn)新的思路。

初接觸競賽題時往往會發(fā)現(xiàn)，看起來不太懂的問題，在看題解時，那些解法是很基礎(chǔ)的，仔細點看可能還發(fā)現(xiàn)，那些東西可能小學(xué)時就已學(xué)過，但解起來就是想不到。尤其是數(shù)論的問題，不時談起整除性，好像小學(xué)時學(xué)過了一些，一旦做題又沒有思路，這個是很平常的。

因為平常在課程裏學(xué)習(xí)，遇上的數(shù)學(xué)題，很少組織得比較巧妙，要是技術(shù)太精巧了，考試沒人會做，評核時就無法分辨學(xué)生能力高下，所以很少出現(xiàn)，到了高年級，也未必會見過類似的題目。

讀書學(xué)習(xí)過程中，見到除了平常學(xué)習(xí)的先後順序以外，有其他組織方式，比如看到第一課與第五課有關(guān)，有些章節(jié)或定理，雖然沒有明說有關(guān)係，但閱讀時一定要聯(lián)想到有關(guān)係。讀書時想得通沒寫出來的意思，把書本裏各樣概念聯(lián)繫成一個大網(wǎng)絡(luò)，要搜尋和應(yīng)用各樣知識也就容易多了。

在書本上看到某個概念時，若能做到隨時可以聯(lián)想起許多與它有關(guān)的內(nèi)容，說明腦海中的知識已經(jīng)組織得相當緊密，即使偶爾有部分忘記了，還是可以通過其他概念，去推論或者聯(lián)想起來，對於記憶也有很大幫助。對中學(xué)生來說，公開試要記許多內(nèi)容，其中一個可以參考的方法，是多發(fā)現(xiàn)各定義與定理的關(guān)係，在綜合題裏找尋更多可以連結(jié)的課題，容易有舉一及三之效。

● 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數(shù)培訓(xùn)之註冊慈善機構(gòu)(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克比賽」，旨在發(fā)掘在數(shù)學(xué)方面有潛質(zhì)的學(xué)生。學(xué)員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓(xùn)並參加海內(nèi)外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。